26. März 2017

Dreisatz für Dummys

Dreisatz, Dreisatzrechnung, Regel de tri, Cross Multiplication
https://de.wikipedia.org/wiki/Dreisatz, https://en.wikipedia.org/wiki/Cross-multiplication
   Hier mein »Dreisatz für Dummys« – wobei ich nicht sagen will, dass David, dem ich’s widme, ein Dummy ist. Ich musste es mir selbst erst einmal erklären. (Und ich weiß schon, dass man Dummys englisch dummies schreibt … )

Fünf Arbeiter bauen in fünf Tagen fünf Hütten
und trinken fünf Flaschen Bier am Tag.

– So, da haben wir’s. Jetzt geht die Fragerei los: »Wieviel … ?« 

Halt.
1. Sollte man die Regeln von Gleichngen aus Brüchen kennen, gut und sicher kennen, wie das die Amerikaner mit ihrer Bezeichnung »Kreuzmultiplikation« auch gleich empfehlen.
2. Muss man zuallererst überlegen, ob es eine »normale«, proportionale Dreisatzaufgabe ist, wo mehr mehr bedeutet (Bier im Beispiel) oder eine »inverse«, ungekehrt proportionale, wo ein Mehr zu weniger führt, meist zu weniger Zeit. (Ich muss noch herausfinden, wie ihr das lernt, heute heißt ja in der Schule alles irgendwie lateinisch … )
   Das ist alles. Ein Trick noch: Die Maßeinheiten und Größen wie A für Arbeiter oder l für Liter Bier in der Rechnung mitlaufen lassen, zur Kontrolle. (Wenn am Ende statt Tagen Biere herauskommen, war was falsch.)  

1. Rechnen mit Brüchen

Wir gehen von einer Gleichung aus, einem Gleicheitszeichen = in der Mitte, und links und rechts je ein Bruch, nichts Addiertes, je ein glatter Bruch wie nach ’nem ordentlichen Sturz vom Fahrrad:
                          a         c
                         ––  =  ––
                          b         d
So: Was können, dürfen wir mit dieser Gleichung tun, dass sie richtig (wahr, korrekt) bleibt? Gleich muss gleich bleiben! Wir spielen uns wie mit Dominosteinen.
• Wir dürfen erweitern, links und rechts mit derselben Größe malnehmen (oder teilen),
• Wir dürfen alles kippen (Kehrwert)
                          b         d
                         ––  =  ––
                          a          c
Probieren wir’s? 2/8 = 1/4, richtig? Kehrwert: 8/2 = 4/1, bingo.
• Soll eine Größe auf die andere Seite der Gleichung wandern, so geht sie von unten nach oben oder von oben nach unten, über Kreuz. (Zurück lässt sie eine 1 – wie du David, wenn du das gut beherrschst!) Mathematisch werden beide Seiten mit der Größe malgenommen oder geteilt, was man ja wohl machen darf.) Ausgehend von der Gleichung ganz oben schieben wir das b hoch.
                          a         c × b                      c × b
                         ––  =  ––           also a = ––––    , fertig
                          b         d                               d
• Lassen wir noch eine Größe von oben (dem Zähler) nach unten gegenüber (dem Nenner) wandern, das a:
                                  c                        1          c
                         ––  =  ––           gibt  –– = ——
                          b         d × a                 b       d × a 
Nun, das wird uns nicht passen; wir wollen b wissen, und nicht 1/b wie hier. Also »kippen« wir:
                          b      d × a
                         — = –––––       oder  b = (d × a) / c
                           1         c
Bitte: Da muss man erst fit sein, dass es einem Spass macht.
   Später ist dann eine Größe x unbekannt, und auf die muss man auflösen, so, dass ganz klar x = … dasteht.

2. Der Ansatz
• Bei normalen, proportionalen Dreisatzaufgaben mit »mehr ist mehr«. Fünf Arbeiter trinken fünf Flaschen Bier am Tag, wieviele Flaschen brauchen zehn? Ansatz:

                         5 Arbeiter       10 Arbeiter
                       —————— = ———————
                         5 Flaschen        x Flaschen
Jetzt braucht man nur zum x aufzulösen und man hat’s.
• Und umgekehrt? Fünf Arbeiter bauen in fünf Tagen fünf Hütten. – Wir brauchen aber nicht zehn Hütten, wir brauchen die fünf Hütten schneller, sagen wir, in zwei Tagen. Wieviele Arbeiter brauchen wir, wenn’s in zwei Tagen fertig sein soll? Ansatz:
                   5 Arbeiter × 5 Tage = 5 Hütten
                   x Arbeiter × 2 Tage = 5 Hütten

3. Die Lösung
Produzieren sollen sie dasselbe, 5 Hütten, also sind die zwei Gleichungen gleich, und wir können das Istgleich (=) »durchziehen« und die Hütten dann weglassen.
     5 Arbeiter × 5 Tage = 5 Hütten = x Arbeiter × 2 Tage = 5 Hütten
Auflösen auf x bedeutet nun, von der rechten Seite die 2 Tage wegzubekommen. Sie wandern von rechts nach links, müssen dort dann aber »unten« stehen:
     5 Arbeiter × 5 Tage
      —————————————  = x Arbeiter × 2 Tage
               2 Tage
Die »Tage« (als Wort, nicht die Zahlen!) kürzen sich sauber heraus, 
     5 Arbeiter × 5 Tage                             25 Arbeiter
      —————————————  = x Arbeiter =  ——————   = 12½ Arbeiter
               2 Tage                                                   2

 • So, jetzt kann man noch weiter fragen: Wenn sie aber in 2 Tagen nur 2 Hütten bauen sollen, wieviele brauchts dann?
                   5 Arbeiter × 5 Tage = 5 Hütten   (Gleichung 1)
                   x Arbeiter × 2 Tage = 2 Hütten   (Gleichung 2)
Schade. 5 Hütten sind nicht 2 Hütten. Wir können die zwei Gleichungen nicht (durchgehend) gleichsetzen. Also nehmen wir die erste, in der alles bekannt ist, und rechnen sie erst einmal (links und rechts) auf 2 Hütten um. Wir erweitern beide Brüche der Gleichung: Vielleicht mit 2/5 malnehmen?  
       (2/5)×5 Arbeiter × 5 Tage = (2/5)×5 Hütten    
                 2 Arbeiter × 5 Tage = 2 Hütten   (aus Gleichung 1 oder aus’m Kopf)
Das können wir jetzt mit Gleichung 2 gleichsetzen, 2 Hütten sind 2 Hütten:
       2 Arbeiter × 5 Tage = 2 Hüttenx Arbeiter × 2 Tage = 2 Hütten           
Rechts die 2 Tage nach links, bitte dort aber im Nenner:
      2 Arbeiter × 5 Tage
      ——————————— =  x Arbeiter × 2 Tage
                        2 Tage
Links »Tage«, das Wort, kürzen, 10/2=5, und schon sind’s 5 Arbeiter. Kommt das hin? 


Drei numerische Werte eingeben, der vierte wird ausgerechnet.
Ganze Zahlen bitte.

=
Siehe auch: »In drei Schritten Dreisatzaufgaben sicher lösen«.
Oline-Dreisatzrechner (einer von vielen).

Schön ausführlich, englisch
Das geht auch »abstrakt« mit Buchstaben.

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