Rätsel 100 Gefangene 100 Wärter Quadratzahlen

Für Wassim und Mohamed

In hundert Zellen schmachten hundert Gefangene.
Die Zellen sind natürlich geschlossen.

Vormalige Zellen in Rheineck

Dazu gibt es hundert Wärter (Achtung: Die heißen inzwischen neudeutsch Justizvollzugsbeamte!). 
   Nachts sperrt der erste Wärter alle Zellen auf. Der zweite geht zu jeder zweiten Zelle, also zu Zelle 2, 4, 6 … 100 und sperrt sie wieder zu, weil sie auf waren. Der dritte geht zu den durch drei teilbaren Zellen, und sperrt sie zu, wenn sie offen waren, und auf, wenn sie zu waren. Der vierte nimmt sich die durch vier teilbaren Zellen vor, und sperrt einmal rum, auf oder zu, je nach dem. Und so weiter. Klar?
   Welche Zellen sind in der Früh offen?

Bissl Mathematik
   Ein Teiler ist eine ganze Zahl, durch die eine andere restlos teilbar ist (eins meist ausgenommen). So ist z.B. die drei Teiler von neun, oder mathematisch geschrieben 3|9, drei teilt 9. (Auf der Tastatur links unten gibt AltGr< den |.)
   Eine Quadratzahl ist eine Zahl, die aus der Multipliaktion zweier gleicher Zahlen entsteht, etwa 144, was bekanntlich 12 × 12 ist (auch 12 · 12 geschrieben). 

Langsame Lösung
   Wenn an einer Zelle eine geradzahlige Zahl (also eine durch 2 teilbare) von Wärtern herumschließen, dann bleibt am Ende ihre Tür wie gehabt: verschlossen. Besucht werden die Zellen nur von den Wärtern, deren Wärternummer (1 bis 100) ein Teiler der Zellennummer (ebenfalls 1 bis 100) ist. 
   Nun haben Teiler eine wenig bekannte, wichtige Eigenschaft: Wenn eine Zahl n durch, sagen wir t, teilbar ist, dann muss sie auch durch den »Partnerteiler« t' teilbar sein. Wenn t|n ist, dann ist wegen t · t' = n auch t'|n. Beispiel: 5|15, fünf teilt 15, also stimmt auch 3|15, weil 3·5=15 ist. Normale Teiler treten immer in Pärchen auf; Pech für den Gefangenen.
   Ja aber: Teiler, deren Partnerteiler sie selbst sind, etwa bei 3|9 und 3 · 3 = 3² = 9, lassen die Türe im jeweils anderen Zustand: bei uns also offen! Juhu! Derartige Teiler gehören zu Quadratzahlen; sie sind die Wurzel √ aus Quadratzahlen).
   Jetzt brauchen wir nur noch die Quadratzahlen von eins bis hundert aufzulisten, und wir haben des Rätsels Lösung:
   Zelle 1 (1·1=1), 4 (als 2·2), 9 (als 3·3), dann 4² = 16, 5² = 25, 6² = 36, 7² = 49, 8²= 64, 9² = 81, 10² = 100. Es genügt das kleine Einmaleins!
     1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 – ganze zehn glückliche Zellen.
Danke fürs Mitdenken.

Ich zeige das einmal an nur zehn Zellen und zehn Wärtern. 
Da müsste das Ergebnis (Quadratzahlen bis 10) sein: 1, 4, 9.

    Zelle 1   2   3   4   5   6   7   8   9  10
    0.  zu  zu  zu  zu  zu  zu  zu  zu  zu  zu
    1. auf auf auf auf auf auf auf auf auf auf
    2. auf  zu auf  zu auf  zu auf  zu auf  zu
    3. auf  zu  zu  zu auf auf auf  zu  zu  zu
    4. auf  zu  zu auf auf auf auf auf  zu  zu
    5. auf  zu  zu auf  zu auf auf auf  zu auf
    6. auf  zu  zu auf  zu  zu auf auf  zu auf
    7. auf  zu  zu auf  zu  zu  zu auf  zu auf
    8. auf  zu  zu auf  zu  zu  zu  zu  zu auf
    9. auf  zu  zu auf  zu  zu  zu  zu auf auf
   10. auf  zu  zu auf  zu  zu  zu  zu auf  zu   

Und die Moral von der Geschicht’? Sei ruhig der Erste!

Links:

Dieses Rätsel

http://www.lehrer.uni-karlsruhe.de/~za3715/primosthenes/primosthenes.htm Einem »König Primost(h)enes« zugesprochen.

https://www.logisch-gedacht.de/logikraetsel/kerker/loesung/
Mit Computerprogrammen!

http://www.emath.de/Mathe-Board/messages/10/1623.html?1322931416 Einem »König Dodon« zugeschrieben, mit Java-Programm gegen Ende der Diskussion.

http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/33615,0.html
»Knobelaufgabe 6. Klasse«

Aus https://plus.maths.org/content/jail-break

http://www.sb-innovation.de/f161/r-tsel-100-gefangene-17589/

http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/23/383037.html 

englisch:

https://plus.maths.org/content/jail-break

Was anderes – Das Lichtschalterrätsel

http://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/raetsel-der-woche-wie-retten-die-schluempfe-ihr-leben-a-1037344.html

https://www.logisch-gedacht.de/forum/?board=4&thema=69

http://de.math.wikia.com/wiki/Gefangene_und_Gl%C3%BChbirne

englisch

http://www.cut-the-knot.org/Probability/LightBulbs.shtml

Noch was anderes für hundert Gefangene

https://de.wikipedia.org/wiki/Problem_der_100_Gefangenen

Link hierher
http://blogabissl.blogspot.de/2016/06/ratsel-100-gefangene-100-warter_30.html