Die Neunerprobe

Für Wassim und Mohamed

Macht man einfache Rechnungen  mit den Quersummen, so muss auch dort die Rechnung stimmen. Das gilt für Multiplikation, aber auch für Addition und Substraktion.
   Ist die Prüfrechnung falsch, dann ist die Rechnung (mit den vollen Zahlen) sicher falsch.
   Ist die Prüfrechnung richtig, so ist die Rechnung wahrscheinlich richtig. Sind z. B. zwei Ziffern vertauscht, ergibt sich dieselbe Quersumme, obwohl die Rechnung falsch ist.

   Mathematisch ist das eine Modulo-Neun-Rechnung und z. B. hier erklärt. Deshalb heißt diese Probe »Neunerprobe«. Außerdem entspricht eine Ziffer 9 einer Null in der Quersumme. Man kann auch »Kreuzprobe« sagen, weil man sie meist in Kreuzform aufschreibt, oben die Multiplikatoren, unten links die Quersumme des gerechnten Resultats, unten rechts dann die Quersumme der Multiplikation der beiden Quersummen oben. 
   Ich zeig’ euch das einmal an einem Beispiel, links.
Wir wollen hier 154 × 23 rechnen und kommen auf 3542. Stimmt das? Wir bilden die Quersumme von 154, so lange, bis nur eine Ziffer übrig bleibt, also 1 + 5 + 4 = 10 dann 1 + 0 = 1. Das schreiben wir im Kreuz links oben hin. Jetzt die Quersumme von 23: 5, rechts oben. Die Quersumme von unserem Rechenergebnis, von 3542 ist 5, die schreiben wir unten links hin. Nun die Prüfrechnung: 1 × 5 = 5. Zufrieden schreiben wir das nach rechts unten. Das Ergebnis 3542 ist damit wahrscheinlich richtig. Wäre die Prüfrechnung falsch ausgegangen, so wäre unsere Multiplikation gewiss falsch.
   Ein paar Tricks. Einen kennt ihr schon: 9 ist null. Amerikaner streichen beim Quersummenberechnen immer gleich alle Neuner heraus, und alle Ziffern, die zusammen neun ergeben, steht hier. So heißt das bei ihnen „Casting out nines“, Neunerrausschmeißen.
   Sehr schön erklärt das Karl-Heinrich Meyberg, hier:

Karl-Heinrich Meyberg, Lehrer für Mathematik, Physik und Informatik an der Graf-Friedrich-Schule, einem Gymnasium des Landkreises Diepholz, zeigt uns außerdem die Elferprobe. Da macht man die Proberechnung nicht mit den Quersummen (»Neuner-Rest«), sondern mit dem »Elfer-Rest«: Den bekommt man, wenn man bei einer Zahl von hinten her (also von der Einerstelle aus) die »Quersumme« abwechselnd mit Addieren (+) oder Substrahieren (-) errechnet.  Man fängt mit + an.
   Wie das geht zeigt Meyberg auf seiner Seite 2 an der Zahl 582346912: 2-1+9-6+4-3+2-8+5 = 4. Probiern wir’s an meinem Beispiel oben. 154: 4-5+1 = 0. Weil wir eine Multiplikation testen, brauchen wir den zweiten Multiplikand gar nicht zu berechnen, weil 0 × Irgendetwas immer 0 gibt. Wir wissen, auf der 11er-Ebene muss das Ergebnis auch Null sein. Wirklich? 3542: 2-4+5-3 = 0. Stimmt, bingo!
   Ich hab’ immer nur die Neuenerprobe gemacht. Macht man beide Proben, so ist man 99 % sicher, dass das Ergebnis stimmt. »Führt man bei einer Rechnung sowohl die 9er- als auch die 11er-Probe durch, so kann sich höchstens das Ergebnis vom richtigen Ergebnis um 99 oder ein Vielfaches von 99 unterscheiden.
   Den Trick mit der Neuenerprobe soll laut der deutschen Wikipedia schon أبو جعفر محمد بن موسى الخوارزمي (780—ca. 840) beschrieben haben. der weltberühmte Al-Chwarizmi.
   Übrigens haben wir die Zahlenschreibweise von den Arabern übernommen. Die Einerstelle steht rechts, weil man dort zu rechnen beginnt, in arabischer und lateinischer Schrift gleichermaßen.

In der Wikipedia: https://de.wikipedia.org/wiki/Neuner-_und_Elferprobe,
englisch https://en.wikipedia.org/wiki/Casting_out_nines

Link hierher: http://blogabissl.blogspot.com/2016/06/die-neunerprobe.html